Estamos em órbita!

Imagem retirada deste site

Houston, estamos em órbita! E finalmente chegamos ao nosso último post do intensivão. Para finalizarmos, vamos estudar um pouco sobre as trajetórias que um corpo descreve quando em órbita, assim, finalizando o processo de estudo para um movimento translacional. Lembre que no primeiro post deste intensivão analisamos o movimento rotacional (ou atitude), e nos dois últimos posts demos base para este post, que tratará do movimento translacional de um corpo celeste. Então aperte o cinto, contagem regressiva e vamos entrar em órbita!

O que é uma órbita

Em astronomia, se define órbita como o caminho que um astro percorre através do espaço celeste. Assim, não somente denominamos o trajeto repetitivo de um satélite artificial ou natural em torno de um planeta, ou mesmo o trajeto repetitivo de um planeta em torno de uma estrela como órbita, mas sim qualquer caminho que um corpo celeste realiza. Um cometa, por exemplo, quando viajando no espaço profundo, possui uma órbita, que corresponde ao seu trajeto. Vale notar que certas órbitas (em grande maioria) podem sem modeladas e assim previstas.

A modelagem amplamente utilizada na engenharia aeroespacial para descrever movimentos de corpos celestes é o problema de dois corpos. Neste problema, considera-se a interação de apenas dois corpos celestiais (até por isso se chama problema de dois corpos 😋): o corpo central, ou principal, que será orbitado, e o corpo secundário, que orbitará o corpo central. Esse tipo de problema é bem ilustrado quando se fala de satélites artificiais (corpo secundário) em torno da Terra (corpo central), do movimento da Terra (corpo secundário) em torno do Sol (corpo central), entre outros problemas.

Vale aqui uma ressalva que neste problema se estuda a interação de apenas, e apenas dois corpos celestes. Assim, num exemplo de um satélite artificial orbitando a Terra, como fazemos com a influência da Lua? Se a Lua interfere até no movimento de maré, porquê não interferiria no movimento de um satélite artificial orbitando a Terra? E a resposta é simples: tal interferência da Lua sobre o satélite artificial é pequena quando comparada com a influência da Terra sobre o satélite artificial. Portanto, “negligenciamos” tal interação com a Lua e supomos que somente há interação entre o satélite artificial e a Terra.

Um exemplo de órbita circular, onde podemos supor que a bola laranja é a Terra e a bola cinza é o satélite artificial. Imagem retirada do Wikipédia – Órbitas circulares.

E é dessa interação que nasce o pilar do problema de dois corpos. Supondo que há apenas essa interação, a única força que existirá entre o satélite artificial e a Terra será a gravitacional. Igual fazemos quando queremos saber o peso de uma pessoa. Consideramos que há apenas interação de gravidade entre a pessoa e a Terra. A imagem de capa deste post traz, de modo esquemático, a ideia por traz dessa interação. Basta fingir que a força gravitacional seria a corda da imagem. E assim, depois de muito cálculo (vai por mim, você não ia gostar de ver as monstruosidades desses cálculos), chegamos em uma relação que descreve a trajetória do corpo celeste:

onde p é chamado de semi-latus rectum e e é chamado de excentricidade da trajetória. Estes dois parâmetros são utilizados para descrever como será a órbita que o corpo realizará em torno do corpo central. O parâmetro p nos indica, de uma forma indireta, a energia que o sistema satélite-Terra tem, e o parâmetro e nos indica o formato da trajetória.

Assim, para órbitas circulares e elípticas (que são os casos que mais trataremos neste blog), a excentricidade das órbitas sempre serão menores do que 1 e sempre terão energia negativa. Como curiosidade, as órbitas hiperbólicas são usualmente utilizadas para realizar uma saída de um planeta ou um manobras de swing-by (teremos um post sobre manobras orbitais).

Vamos supor um satélite orbitando a Terra em um movimento elíptico. Chama-se perigeu o ponto da órbita elíptica que se encontra mais próximo da Terra. Então, se imaginarmos uma linha que conecta o centro da Terra e esse ponto, temos a linha dos apsis. Esta linha serve para encontrarmos a distância que o satélite de encontra da Terra, dado o ângulo f entre a linha dos apsis e a linha que une o satélite com o centro da Terra, e tal ângulo recebe o nome de anomalia verdadeira e é o mesmo ângulo f que se encontra na relação de trajetória descrita acima.

Esquematização da anomalia verdadeira

Assim, para calcularmos a distância que um satélite se encontra em relação à Terra, basta sabermos as características da órbita (p e e) e a anomalia verdadeira no instante que queremos calcular.

Onde está a órbita?

A análise que acabamos de fazer sobre um satélite em órbita com a Terra se dá por completa quando estabelecemos um sistema de coordenadas (leia nosso post sobre sistemas de coordenadas, caso ainda não tenha lido) com origem no centro da Terra, eixo x apontando para o perigeu da órbita, o eixo z perpendicular a linha de apsis e a linha que une o satélite ao centro da Terra, simultaneamente, e por fim, o eixo y completando o sistema dextrógiro. Este sistema é usualmente chamado de sistema de coordenadas orbital. Note, caro leitor, que o plano que contém os eixo xy é aquele que contém a órbita do satélite (caso não consiga imaginar, use a regra da mão direita e localize a órbita neste sistema), assim, podemos dizer que o movimento de um satélite ao redor da Terra se dá de forma planar, ou seja, realizado em um plano.

Entretanto, o sistema de coordenadas orbital não se torna muito agradável quando temos que localizar a órbita do satélite em relação à Terra, pois a órbita sempre estará no plano xy. Por isso, os loucos engenheiros aeroespaciais decidiram mudar de sistema e ir para o sistema inercial (discutido no post de sistemas de coordenadas). E ao fazer essa mudança, necessitaram criar os elementos orbitais. Estes elementos são seis números que localizam tanto a órbita quanto o satélite em relação ao sistema inercial, na qual cada um tem uma interpretação. São eles:

• Semi-eixo maior (a) – caracteriza o tamanho da órbita. Ou seja, se ela está próxima da Terra ou afastada;
• excentricidade (e) – como já vimos, este elemento nos dirá o formato da órbita;
• anomalia verdadeira (f) – como também já vimos, este elemento nos direciona para onde o satélite se encontra na órbita;
• inclinação (i) – este elemento nos indica o quão inclinado o plano da órbita está em relação ao plano equatorial;
• ascensão reta do nodo ascendente (Ω) – imagine a intersecção entre o plano da órbita e o plano do equador. Teremos como resultado uma linha. Esta linha se chama linha dos nodos e este elemento orbital nos indica o quão afastado a linha dos nodos se encontra do eixo x do sistema inercial, e;
• argumento do perigeu (ω) – este último elemento nos informa o quão afastado o perigeu se encontra da linha dos nodos.

Assim, de uma forma ilustrativa, podemos reunir os elementos orbitais em uma imagem.

Esquema dos elementos orbitais. Imagem retirada deste site e modificada pelo autor do post.

Observe que os três primeiro elementos possibilitam localizar o satélite em órbita e define geometria da órbita. Justamente por esse último fato que o semi-eixo maior e a excentricidade não estão ilustrado na figura acima. Eles estão contido na órbita! Já os três últimos elementos nos possibilitam localizar a órbita em relação à Terra, ou seja, conseguimos ter uma ideia bem visual de como o satélite irá orbitar a Terra.

E por fim, uma curiosidade! Cinco dos elementos orbitais são constantes e definidos no projeto do satélite. Ou seja, eles são definidos enquanto os engenheiros constroem o satélite e uma vez posto em órbita, cinco elementos orbitais não mudam mais. Entretanto, é somente em órbita que podemos calcular a anomalia verdadeira, e este muda constantemente com o tempo. E uma das maneiras que temos de expressar essa variação de tempo é usando a data Juliana (DJ), que expliquei no post sobre sistemas de tempo.

Por fim, acho que podemos encerrar nosso intensivão inicial para podermos falar sobre assuntos aeroespaciais. Esse post é denso, contém muita teoria que foi omitida para não tornar este post uma novela das 21:00. Portanto, se tiverem dúvidas, comentem abaixo que estarei feliz em ajudar :).

O nosso próximo post será dia 12 de abril. Permaneçam em órbita, e até lá!
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As referências utilizadas neste post foram:
– http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm – o site está em inglês, mas é um excelente site para quem nunca leu nada sobre o assunto. Demanda um pouco de matemática do ensino médio.
– Fundamentos da Astronáutica, de autores Maria Cecília França de Paula Santos Zanardi e Sandro da Silva Fernandes. ÓTIMO livro para quem quer se aprofundar no assunto. Mas cuidado, requer um conhecimento de cálculo diferencial e integral!!